Vectores en el Plano

El mundo de los Vectores...

En el ciclo diversificado de educación media, específicamente en el área de las matemáticas, no se le da la debida importancia al tema de los vectores, no se sabe, si se debe a que el tema de los vectores es un poco complejo; debido a este planteamiento realizaremos un breve repaso sobre: ¿Qué son los vectores?, Tipos de vectores y componentes de un vector.

Este material le puede servir de ayuda a los estudiantes de octavo grado, como una base fundamental para desarrollar sus habilidades cognitivas y también para la realización de algún trabajo relacionado con vectores.

Vector:

Un Vector es un segmento de recta orientado mediante una punta de flecha dibujada en uno de sus extremos.

Vector fijo o Vector ligado:

Si sobre la recta R hay dos puntos (a y b) podemos ir desde a hasta b o desde b hasta a.

Para indicar a cual de los dos casos nos estamos refiriendo colocamos una flecha en uno de los extremos.

Ejemplo:

a)

 

b)

c) 

En la figura b) indicamos que vamos desde a hasta b. y en la figura c) vamos desde b hasta a.

Podemos observar que el segmento tiene dos orientaciones: desde a hasta b, que se anotay de b hacia a, que anotamos .

a este segmento orientado se llama vector fijo o vector ligado.

Elementos de un Vector

 

En el Vector de la figura, el punto a se le llama origen del vector y el punto b se le llama extremo y la recta R es la recta soporte.

Un vector en el plano está determinado por:

a) Su dirección

b) Su origen o sentido

c) Su punto de aplicación

d) Su longitud o módulo

La dirección está determinada por la recta soporte y puede ser vertical, horizontal, inclinada u oblicua.

La orientación o sentido, está determinada por la flecha y puede ser horizontal hacia arriba o hacia abajo e inclinada ascendente o descendente hacia la derecha o hacia la izquierda.

El punto de aplicación está determinado por el punto origen del segmento que forma el vector.

La longitud o módulo es el número positivo que representa la longitud del vector.

Notación: Para anotar los vectores, seguimos dos procedimientos:

1° colocamos una flecha encima de las letras que determinan el segmento.

Ejemplo:

se anota

2° Usando una sóla letra con una flecha.

Ejemplo:

se anota  

Para analizar un vector hay que tener en cuenta todas sus características.

a) Origen a, extremo b, dirección horinzontal y sentido hacia la derecha. se anota

b) Origen d, extremo c, dirección vertical con sentido hacia arriba. se anota 

c)Origen f, extremo e, dirección inclinada hacia la derecha con sentido ascendente. se anota

d) Origen g, extremo h, dirección inclinada hacia la izquierda con sentido descendente. se anota .

e) Origen j, extremo i, dirección horizontal con sentido hacia la izquierda. se anota  

Tipo de Vectores:

     Vector Unitario: es el vector cuyo módulo vale uno (1)

     Vector Nulo. es el vector cuyo módulo vale cero (0), o de otra manera, cuando el punto origen coincide con el punto extremo. se anota  

     Vectores Paralelos: son vectores situados en rectas paralelas, pueden ser del mismo sentido o de sentido contrario.

a)    Vectores paralelos del mismo sentido

b)   Vectores paralelos de sentido contrario

     Vectores Perpendiculares (ortogonales): son los vectores situados en rectas perpendiculares.

 

   
Vectores Opuestos: son aquellos que tienen la misma dirección y el mismo módulo tienen sentido opuesto.

a) b)  

     Vectores consecutivos: dos vectores se llaman sonsecutivos cuando el extremo del primero coincide con el origen del segundo.

 a) b)  

     Vectores en un sistema de coordenadas: cada vector está limitado por el origen y el punto extremo.


Si un vector está situado en un sistema de coordenadas, está definido por las coordenadas del par ordenado de puntos (origen, extremo). Si consideramos los puntos A (X1, Y1) y B (X2, Y2) está definido por el par ordenado (A, B).

Componentes de un vector: se llama componentes de un vector, situado en un sistema de coordenadas, al punto que tiene como abscisa la diferencia de las que forman el extremo y el origen, en ese orden.

Ejemplo:

a) dados los puntos A (3, 4); B (-2, 3); C (-4, -3) y D (1, 0). Determinar las componentes de cada uno de los siguientes vectores.

b)Procedemos así: en cada caso determinamos el punto de origen y extremo de cada vector y efectuamos la diferencia (extremo menos origen) en sus abscisas y ordenamos. Estos resultados, son las componentes del punto que representan las componentes del vector.

a)
    
Respuesta a) componentes de 

b)
     
Respuesta b) componentes de

c)

     
Respuesta c) componentes de